高中数学——集合的概念及其表示
写在前面
经过慎重思考，我决定开始尝试在博客上呈现高中数学的知识，我想要为视障学生在互联网学习数学做一点自己的努力，同时用这种方式复习以及巩固自己的数学知识。
在此过程中，我的高中数学老师将给予我帮助，事实上，她在初高中六年对我数学兴趣的培养是潜移默化，深远持久的，谢谢您。
同时，感谢网友 zhcosin 提供了使用 LaTeX 制作的初等数学笔记，由于我的表述不一定严谨，所以，文中所涉及到的定理或结论，将参考其中的内容给出，同时，会将其中我认为有用的，但又没有在高中数学教材中给出的内容作为扩展内容给出，供有需要的读者阅读，在此，也感谢 @zhcosin。
最后，感谢你阅读我的文章，你的阅读和每一点进步，都是对我最大的支持！
集合及其基本概念
集合是数学中不加定义的一个基本概念，一些确定的对象构成的整体即称为集合，构成集合的个体称为集合的元素，不包含任何元素的集合称为空集，记作$\emptyset$。
集合的元素具有以下三个性质：
- 确定性，一个对象是否属于一个集合，是严格确定的，要么属于，要么不属于。
- 互异性，集合中没有相同的元素。
- 无序性，集合中的元素没有顺序，即使我们不得不在列出集合中的元素时按一定顺序表述，但如果对于一个集合的两种表述中包含相同的元素，即使顺序不同，它们也表示同一个集合，或者说，这两个集合相等。
描述一组对象时，以上三者必须全部满足，才能说这组对象构成一个集合。
下面的情况不构成集合：
- 所有的大数。
- 所有优秀作文。
- 所有好听的音乐。
对于第一条，没有给出所谓的大数的定义，因此无法确定一个数是否为大数。
对于第二条，无法给出优秀作文的确切定义，并且每个人对优秀作文的定义都是不同的。
同理，对于最后一条，也无法给出所谓好听的音乐到底是什么样的音乐。
对于以下情况，构成集合：
- 《哈利波特七步曲》。
- 所有具有中国国籍的人。
- 南京市所有身高超过 180cm 的初中男生。
一些数学中集合的例子：
- 平面上所有直线构成集合。
- 三维空间中所有点构成一个集合。
- 所有整数构成整数集 $\mathbb{Z}$。
- 所有自然数构成自然数集 $\mathbb{N}$。
- 所有实数构成实数集 $\mathbb{R}$。
- 所有复数构成复数集 $\mathbb{C}$。
- 所有正整数构成正整数及 $\mathbb{N+}$($\mathbb{N\star}$)。
（注：上面所给出的数集，建议读者花时间记住，在以后对数集以及其他内容的研究和描述中，很常用。
如果集合中的全体元素都满足某个条件，并且满足此条件的元素都属于这集合，那么通常就用这条件来刻画这个集合，例如$A=\{ x \vert x \in \mathbb{Z}, x>0 \}$就表示正整数集合。
如果元素$x$是集合$A$中的元素，称为$x$属于集合$A$，记作$x \in A$，否则称$x$不属于集合$A$，记作$x \not\in A$。
集合中的元素是不区分顺序的，如果两个集合$A$与$B$中的元素个数相同且对应相等，那么这两个集合称为相等，用符号语言就是:
$$ A = B \Leftrightarrow (x \in A \Rightarrow x \in B) \wedge (x \in B \Rightarrow x \in A) $$
上式中上尖括号$\wedge$表示逻辑上的与。
规定所有的空集都是相等的。
集合的表示
在数学中，用花括号或大写字母表示集合，例如上面提到的自然数、有理数、实数、复数集等，它们的字母表示是约定俗成的，无需使用花括号来表示，除非在原有数集基础上进行了限制，此时使用描述法来描述，例如，下面是一种描述“由所有大于 $5$ 的整数组成的集合”的方法：
$A=\{x \vert x>5,x \in \mathbb{Z}\}$
以上集合中，$x$ 是集合中的元素，竖杠右侧写明了元素如何确定，也即是，当 $x>5$ 且 $x \in Z$ 时，$x$ 是集合 $A$ 的元素。
描述元素更具体一些的集合时，可以直接在花括号中，用逗号分隔，逐一列出集合中的元素，例如，所有小于 $10$ 的正数可以表示为如下集合：
$B=\{1,2,3,4,5,6,7,8,9\}$