函数的周期性

现实世界中，周期运动，或者具有周期性的事件随处可见。

例如，地球的自转和公转，以及由此产生的昼夜的交替，四季的轮回。
可见，人类的生存、发展，各种你想得到想不到的领域，都需要一种工具，来刻画周期变化。
函数是刻画现实世界中变量间关系的工具，在现阶段，我们接触到的函数都是较为简单和理想化的函数，它们在很多时候并不能很好的反应现实世界中真实的、复杂的变量关系。但这些简单函数也是用于建立现实世界中各种现象的数学模型所必要的元素。

定义：周期函数与周期性

如果函数$f(x)$存在一个常数$T \neq 0$，使得对定义域上任意$x$都成立$f(x+T)=f(x)$，那么称函数为周期函数，即它具有周期性，而$T$称为它的一个周期。显然,$T$的倍数也都是它的周期，如果一个函数的所有周期中有一个最小的正数，则称它是最小正周期。

关于周期性的结论

若$f(x+K)$与$f(x)$相等、互为相反数、互为倒数、互为负倒数，或函数具有间隔为$K$的对称轴，则这个函数为周期函数，且$2K$是它的一个周期。
其中最容易理解的就是$f(x+K)$与$f(x)$相等的情况，这种表示方法最为直观，那么如何理解其余几种情况呢？
事实上，对于等式$f(x+K)=-f(x)$，将左边看作新的$f(x)$或者用另外的字母替换，再次进行一次操作，你就会得到$f(x)$，例如：
$f(x+K)=f(x_1)=-f(x)$
$f(x_1+K)=-f(x_1)=f(x)$
如果暂时不理解上述步骤，可以自行推导一下，有条件的同学可以拿出纸笔，把其他几种情况也做出上述的推导，相信你会有收获的。
由于后续介绍三角函数的时候，我们还要介绍周期函数相关的知识，因此在这里只是作为引入，为了相对全面的认识函数的性质。