高中数学——函数的性质——奇偶性

简单来说，函数的奇偶性描述了一个函数的图像的对称性。

初中我们学过中心对称和轴对称，它们分别对应了函数奇偶性的两种情况——奇函数和偶函数。
例如，二次函数的图像是轴对称图形，它的对称轴在二次函数一般形式中可以表示为直线$x=-{\frac{b}{2a}}$，当对称轴为$y$轴时，它就是一个偶函数，对于它图像上的每个点$(x,y)$，都能找到唯一一个点$(-x,y)$与之对应，它一定也在这个图像上。
对于奇函数，它的图像关于坐标原点中心对称，例如函数$y=x$。
我们需要给出函数的奇偶性的代数定义，毕竟有的函数图像虽然客观存在，但无法被画出，比如我们前面曾提到过的迪利克雷函数，当自变量是有理数时，函数值为1，否则为0。
设函数$f(x)$，对于定义域上的任意自变量$x$，都有$f(-x)=f(x)$，称函数$f(x)$是偶函数。
设函数$g(x)$，对于定义域上的任意自变量$x$，都有$g(-x)=-g(x)$，称函数$g(x)$为奇函数。

判断函数的奇偶性

概念往往比较简单，但要灵活的运用，还是需要花些功夫的，下面来介绍一些判断函数奇偶性的方法，虽然不可能涵盖所有的题型，但，只要你牢记概念，综合运用所学，就能解决问题。
我们看一道例题：
判断函数 $f(x)=\vert x \vert +1,x \in \mathbb{R}$ 的奇偶性。
从奇偶性的代数定义出发，我们可以直接计算 $f(-x)$ 的值，看它是否等于 $f(x)$ 或 $-f(x)$ 吗？
答案是，不可以。
观察题目，发现在解析式后面，是函数的定义域，这里如果我把上面题目中的定义域修改为不关于原点对称的数集，这个函数就既不是奇函数也不是偶函数了。
例如，解析式不变，将定义域改为 $-1 \leq x<1$，此时，当$x=-1$时，$f(-x)$就没有定义。
因此，判断函数奇偶性的第一步，就是判断函数的定义域是否关于原点对称。如果定义域关于原点对称，函数才有可能是奇函数或偶函数，否则就可以直接判断为非奇非偶函数。
下一步就可以计算 $f(-x)$ 与 $f(x)$ 之间的关系了，对于上面的题目，我们有如下计算：

$$ f(-x)=\vert -x \vert +1 =\vert x \vert +1 =f(x) $$

综上，可得出结论，函数 $f(x)=\vert x \vert +1$ 是偶函数。
但，上面的例题只是函数奇偶性运用的初级阶段，有些题目中，不会给出函数解析式，你需要通过条件的转化，来解决问题。
再看一道例题。
对于定义在实数集上的函数$f(x)$，若$f(x-1)=f(1-x)$，判断函数 $f(x)$ 的奇偶性。
在这议题里，没有给出具体的解析式，只给出了一个等式，但这个等式的形式，和奇偶性定义中的等式差不多，唯一的区别就在于括号中的内容，因此，我们只需要将括号里的内容之间的关系确定，就可以解决这个问题。
如果第一次碰到这样的问题，并且没有头绪，可以尝试带入一些数值，两三次之后就可以判断出来，但如果要求写出解题过程，这种方法就不太严谨。
我们可以把 $x-1$ 作为一个整体，设为 $t$，则 $1-x$ 就是 $-t$，上面的关系是就可以用字母 $t$ 表示为 $f(t)=f(-t)$。
到这里，函数 $f(x)$ 的奇偶性就已经很清晰了，它是一个偶函数。
当然，如果你可以一眼看出最终的关系，也可以不用 $t$ 来代换，直接判断即可。

复杂函数的奇偶性的常用结论

对于复杂函数，可以将函数拆分为简单函数的加减乘除，判断基本函数的奇偶性后，得出结论。
例如，判断函数 $f(x)=x^3+x$
的奇偶性，使用拆分的方法就很容易解决了，我们可以把这个函数拆分为 $y_1=x^3$ 和 $y_2=x$，由于这两种函数的奇偶性我们很熟悉，也很好判断，就很容易得出最终结论，函数 $f(x)$ 是奇函数。
常用结论如下：

把偶函数看作正数，奇函数看作负数，就能发现，这些组合结论很类似异号两束四则运算法则中的结论。

总结

我们从函数图像的对称性出发，介绍了函数的奇偶性的定义，并解决了一些判断函数奇偶性的问题，最后，给出了一些函数奇偶性的常用结论。
奇偶性不止体现在函数中，它就像转化，划归等数学思想方法一样，也可以作为思考其他数学问题的思想方法，运用在其他问题的解决中。