高中数学——函数的性质——单调性

本节介绍函数的性质之一，单调性。

初中阶段，我们研究一次函数、二次函数、反比例函数。研究每一种函数时，观察$y$随$x$的变化情况是很重要的一环。
初中阶段，我们使用如下的形式描述二次函数$y=x^2$中$y$随$x$的变化情况：
当$x<0$时，$y$随$x$的增大而减小，$x \geq 0$时，$y$随$x$的增大而增大。
上面的表达乍看上去没什么问题，但，根据前面学习集合相关知识的经验，你会发现，这里的表达未免太口语化了一点，没有体现出符号语言的简洁明了的美感。
况且，这里的$0$为什么要放在右边的范围呢，它不能放在左边吗？说约定俗成吧，又有点牵强附会的意思。
在数学中，有一些稀奇古怪的癖好，比如，喜欢符号语言，喜欢不重不漏，上述表达的不足之处就是，实际上，$0$放在左右两边都没问题，那么，就不能偏袒其中任意一边，但如果两边的范围都包含了$0$，就违背了不重不漏的原则。
高中阶段，函数的单调性，用符号语言描述函数在一段区间或一个数集上的函数值随自变量的变化情况。

定义

设函数$f(x)$在某个非空实数集$E$上有定义，如果对于任意$x_1,x_2 \in E$且$x_1<x_2$都有$f(x_1) \leq f(x_2)$，则称函数$f(x)$在$E$上是单调增加的，如果不等式中的等号永远不成立，即总有$f(x_1)<f(x_2)$，则称函数$f(x)$在$E$上是严格增加的，类似的可以得出在$E$上单调减少和严格减少的定义。
一个函数中，具有单调性的区间称为这个函数的一个单调区间。
高中数学中，给出的实际上是严格递增和严格递减的定义，并习惯上称为单调递增和单调递减，也即是，高中数学中所说的单调函数，实际上特指严格单调函数。
注意，为了统一，描述函数的单调区间时始终用开区间来表示。
由于上述原因，后文提到的单调函数和一系列研究函数单调性的过程，均按照高中数学的说法，特指严格单调函数。
这里解释一下非空实数集。非空实数集，是一个非空的，实数集$\mathbb{R}$的子集，比如，取一些有理数构成一个集合，也是一个非空的实数集。及，函数单调性不一定只体现在如实数集这样一个连续的数集上，比如，一个定义在整数集上的函数
$y=x,x \in \mathbb{Z}$
，它在整个定义域上单调递增。
根据单调函数的定义，我们可以来判断一些函数的单调性。

判断函数的单调性

我们来看一些例子。
讨论函数$y=\frac{1}{x}$的单调性。
上面的函数是我们研究过的一种函数，它的单调性我们已经很熟悉了，我们要做的，就是用心的方法再次研究它。
根据定义，设函数$y$的定义域为
$E=\{x \vert x \neq 0\}$
令$x_1,x_2 \in E$，且$x_1<x_2$，由于我们无法得知$f(x_1)$与$f(x_2)$之间的大小关系，我们可以将之转化为$f(x_1)-f(x_2)$与$0$之间的大小关系，及，对于定义域上任意一组$x_1,x_2$，都有$f(x_1)-f(x_2)=\frac{1}{x_1}-\frac{1}{x_2}$，为了更好的解决问题，我们分两种情况讨论。
当$0<x_1<x_2$时，我们有

$$ f(x_1)-f(x_2) =\frac{1}{x_1}-\frac{1}{x_2} =\frac{x_2-x_1}{x_1x_2} $$

因为$0<x_1<x_2$，
所以$x_2-x_1>0$，$x_1x_2>0$
及$f(x_1)-f(x_2)>0$
进而得到$f(x_1)>f(x_2)$
结论，当$x>0$时，$f(x)=\frac{1}{x}$单调递减。
同理，当$x_1<x_2<0$时，也能得到同样的结论，及，函数在$x<0$时也是单调递减的，读者可以自行讨论。
这里分类讨论的一个方便之处在于，分类的同时，每一种情况都相当于多了一个条件，将$x_1$和$x_2$的符号都确定了。
用定义讨论函数单调性的重点在于确定$f(x_1)$与$f(x_2)$之间的大小关系，这个过程的重点就是能够判断计算结果中的各部分的符号，进而确定结果的符号。
而利用定义确定函数单调性的方法也不只有刚才确定函数$f(x)=\frac{1}{x}$时所使用的做差法一种。只要能达到确定$f(x_1)$与$f(x_2)$的目的，你可以使用任何你能想到的方法。
比如，我们可以通过判断$\frac{f(x_1)}{f(x_2)}$与$1$之间的大小关系，来间接的确定$f(x_1)$与$f(x_2)$之间的大小关系。
我们还是用上面的函数$f(x)=\frac{1}{x}$来举例子。
令$0<x_1<x_2$，则有

$$ \frac{f(x_1)}{f(x_2)} =\frac{\frac{1}{x_1}}{\frac{1}{x_2}} =\frac{x_2}{x_1} $$

上面的第一个等于请读者仔细阅读，这是一个繁分式，你可以把主分式线看作除号。
计算得到的结果是$\frac{x_2}{x_1}$，因为$0<x_1<x_2$，所以这个式子整体大于$1$，及$\frac{f(x_1)}{f(x_2)}>1$，进而得到$f(x_1)>f(x_2)$。
上面的例子比较简单，考试题目中让你判断的函数一定会比上面的函数要复杂。
用定义判断函数单调性常用的两种方法是做差法和做商法，需要根据函数解析式的特点灵活选用，达到高效解题的目的。同时，函数的单调性也可以用于其他类型的题目，例如证明不等式，比较大小等等。