高中数学——映射与变换

本章我们将走进函数的世界，在正式讨论各种函数之前，我们先从映射与变换开始，一步步建立函数的概念，让你初步了解函数。

映射

映射的符号定义，在 zhcosin 提供的初等数学笔记中，引入了笛卡尔积的概念，借助这一概念来给出映射的定义，为了方便理解，此处不给出符号定义。
文末会给出笛卡尔积和映射的相对严格的定义，感兴趣的同学可以阅读。
在两个集合的元素之间，可以通过某种对应法则将一个集合的元素与另一个集合的元素对应起来，
设集合$A$、$B$是两个非空集合，对于集合$A$中的任意一个元素$a$，都能通过一个对应法则$f$，在集合$B$中找到一个元素$b=f(a)$与之对应，这就形成了一个从集合$A$到集合$B$的映射，记作$f: A \mapsto B$。其中，$f$代表对应法则，箭头左侧的集合中的一个元素，通过对应法则，对应到箭头右侧集合中的一个元素。
用通俗的语言说，从$A$到$B$的映射是一个对应关系，它使得$A$中任何元素(称为原象)都能对应到$B$中的某一个元素(称为象)，并且不存在一对多的现象，但是多对一是允许的，并且$B$中可以有一些没有原象的元素。
我们来举个例子。
设集合$A=\{(-3),(-2),(-1),0,1,2,3\}$，集合$B$={0,1,2,3,4}。对应法则为
$f(x)=\vert x \vert,x \in A$
我们成功的构造了一个映射，观察上面的映射，对于集合$A$中的每个元素，集合$B$中只有唯一的一个元素与之对应，反过来看，集合$B$中，并不是每一个元素都能找到它的原象，也并不是每个元素只有一个原象，读者可以利用上面的示例，理解映射的概念。
设$f$是从集合$A$到集合$B$的一个映射，如果$A$中不同元素在$B$中的象也不同，则称该映射是一个单射，而如果$B$中每一个元素，都能在$A$中找到它的原象，则称该映射是一个满射。
如果一个映射，既是单射又是满射，那么称其为双射或者一一映射。
集合$A$到自身的映射称为集合$A$上的变换，如果这个映射又是双射，则称为一一变换。
我们可以用电影院的例子来理解上面的概念。
全体观众组成集合$A$，所有座位组成集合$B$，对应法则$f$是每个观众手中的电影票所指示的座位号。
可以知道，无论电影院有没有坐满，这两个集合间的对应关系始终是映射，且都是单射，此时假设一个座位之做一个观众。
如果电影院座无虚席，这个映射是满射，因为其又是单射，所以这个映射是双射。
再举一个数学中的例子来理解变换。
整数集到偶数集的映射，既可以看作整数集到偶数集这两个不同集合间的映射，又可以看作整数集自身的一种变换。当将之看作两个不同集合间的映射时，它还是一个双射。

换言之，如果两个集合构成映射，且这两个集合，具有前者包含后者的关系，就可以说这是一个变换。
最后，介绍一些拓展概念。

序偶

在初中数学的学习中，我们知道，可以用有序数对来表示平面上的一个点。
当(a,b)中的$a$，$b$不仅仅表示一个数字，就抽象出了序偶的概念。
将元素用逗号分隔写在小括号里，就形成了描述有序元素的模型。

笛卡尔积

设$A$、$B$是两个集合，则序偶${(a,b)}$的集合$\{ {(a,b)} | a \in A, b \in B \}$称为$A$与$B$的笛卡尔积，记作$A \times B$。
注意，笛卡尔积的元素是序偶，该序偶的第一个元素来自于集合$A$，而第二个元素来自于集合$B$。
显然，$A \times B$与$B \times A$是两个不同的集合，将实数集$\mathbb{R}$与自身作笛卡尔积，则得到平面上的坐标集合。
设$A$、$B$是两个非空集合，集合$C$是$A$与$B$的笛卡尔积$A \times B$的一个子集，如果集合$C$满足:

$$ \begin{cases} \forall a \in A, \exists b \in B \Rightarrow {(a,b)} \in C \\ {(a,b_1)} \in C, {(a,b_2)} \in C \Rightarrow b_1=b_2 \end{cases} $$

下一节，我们将正式开始介绍刻画变量间关系的工具，数集间的映射——函数。