高中数学——函数的概念(II)

本节介绍在学习函数性质之前的最后一个概念——反函数。

反函数，不是指某一种具体的函数，而是两个函数之间的一种特殊关系。
对于某些函数，由于它的对应法则的逆法则也正好满足函数定义（只要原法则下不存在多对一，则逆法则就不存在一对多，从而符合函数定义），因此自变量也就可以看成因变量的函数，这就是反函数，反函数与其原来函数是同一对应法则的两种表示方法，图象也是完全重合的，只有在互换$x$和$y$后，两者图象关于一三象限角平分线对称。
这里强调，反函数是对同一对应法则的两种表示，本质上描述的函数是相同的，但习惯上我们会调换字母，使得最终表达符合我们的习惯。

定义

设变量$y$是变量$x$的函数$y=f(x)$，如果该映射具有逆映射，那么变量$x$根据该逆映射也就成为变量$y$的函数，称为函数$f$的反函数，记作$x=f^{-1}(y)$。
我们从映射的观点来看一个例子。
求函数$y=\sqrt{x}$的反函数。
这个函数可以看作是从集合$A=\{x|x \geq 0\}$到其自身的一个变换。可以把其中的一个正整数子集拿出来观察，如下：

如果把右边一列看作自变量，把左边一列看作因变量（随自变量的变化而变化的变量），这个函数就是
$x=y^2$
为了习惯，把$x$和$y$调换位置，上面的函数就是
$y=x^2$
其中，$y$和$x$的取值范围都是非负实数集。
反函数的定义域和值域，在通过映射观察时能直观的反应，但通常我们求一个能写成关于$f(x)$和$x$的解析式的函数时则往往容易忽略它。
还是上面的例子。
要求出$y=\sqrt{x}$的反函数，先把$x$通过变形放在等号的一边，我们把原解析式的两边同时平方，可得到
$y^2=x$
然后我们把反函数的自变量放在等号右侧，及
$x=y^2$
根据习惯，把$x$和$y$的字母调换，得到最终函数
$y=x^2,x \geq 0$
此时需注意，$y$已经变成当初的$x$，同理，当初的$y$就是现在的$x$，如果还不理解，就换两个新字母来表示，但不建议这样做，因为考试的时候还是建议用原字母。
另外，得到的反函数，要注意标明定义域，比如上面的函数$y=x^2$，要在后面标明，定义域为$x \geq 0$，因为原函数$y=\sqrt{x}$，在$x<0$时没有定义。
下一节，我们开始介绍函数的各种性质。