高中数学——函数的概念(I)
本节介绍函数的概念，并结合实例，加深对函数概念的理解。
函数是根据变量之间的依赖关系而抽象出来的一个数学模型，最常见的是两个变量之间的依赖关系，变量$y$的取值依赖于变量$x$的值，比如说，张三比李四大五岁，那么张三的年龄到底是多少呢?这得取决于李四的年龄是多少，张三的年龄在其上加五即可，这就是两个变量之间的一种依赖关系，而这种依赖关系抽象成数学模型就是自变量与函数，李四的年龄是自变量（即由外部确定），张三的年龄就是李四的年龄的函数，即它依赖于李四的年龄这个自变量。
一个物体以固定速度$v$做匀速直线运动，它的运动路程$s$随着运动时间$t$的变化而变化，这里，时间$t$是自变量，路程$s$就是时间$t$的函数，这个函数关系可以用函数解析式表示如下：
$s=vt,t \geq 0$
以上是初中数学建立函数概念的过程，在高中阶段，我们用映射来建立函数的概念。
我们已有映射的基础，而函数，不过是在映射中，把原象集合与象的集合都限制为数集即可。
设$A$、$B$是两个非空数集，则从$A$到$B$的映射，称为函数。
函数是两个数集之间的一个映射，根据对应法则，数集$A$中每一个数在数集$B$中都有唯一一个数与之对应。函数值的唯一性实际上就是确定性，如果有两个值对应，那么这个依赖关系实际就是不确定了。
函数通常写为$y=f(x)$，但这并不是说，所有函数都能表示成自变量的式子，比如狄利克雷函数，它定义在实数集$\mathbb{R}$上，如果自变量是有理数，则函数值为1，否则函数值是0，即它是实数有理性的标志函数，但我们很难找到一个表达式符合这个取值要求，所以它很难有一个明确的表达式。
此外，即便我们有明确的把$x$和$y$约束起来的表达式，我们也并不一定能从中把$y$解出来单独放到等号的一边，比如由关系式$y-\varepsilon \sin{y}-x=0$就是这样的例子。
通常我们可以用单个字母表示函数，比如$y$，也可以用诸如$f(x)$，$g(x)$的方式来表示函数，其中的$f$,$g$表示对应法则，整体表示由一个集合中的元素$x$经过对应法则$f$后，得到的与之对应的元素$f(x)$。
区间
为了更方便的表示一个范围，除了把范围写成集合的形式，还可以利用区间来表示范围。
注：由于旁白的某些问题，无法读出小括号与中括号，所以，以后文章中涉及到的区间，均会标明是开区间、闭区间、左开右弼区间或左闭右开区间。
设$a$，$b$是两个不相等的实数，且$a<b$，则
- 开区间${(a,b)}$表示一个范围，等同于$\{x \vert a<x<b\}$；
- 左开右弼区间${(a,b]}$表示一个范围，等同于$\{x \vert a<x \leq b\}$；
- 左闭右开区间${[a,b)}$表示一个范围，等同于$\{x \vert a \leq x<b\}$；
- 闭区间${[a,b]}$表示一个范围，等同于$\{x \vert a \leq x \leq b\}$。
在区间表示中，由于两端必须都有数字，所以会使用无穷符号来定义范围，且使用无穷大符号的区间端点是不能取得闭区间的。
设$a$是一个实数，则：
- 左开右弼区间${(-\infty,a]}$等同于$\{x \vert x \leq a\}$
- 左闭右开区间$[a,+\infty)$等同于$\{x \vert x \geq a\}$
- 开区间${(-\infty,+\infty)}$表示实数集，等同于$\mathbb{R}$
由于区间的表示法在效果上与集合相同，所以对区间也可以使用集合的交集、并集、补集运算。使用区间和一些集合运算，我们可以表示出更复杂的范围。
定义域与值域
顾名思义，定义域，是定义一个函数时所决定的自变量的取值范围，值域就是函数值的取值范围。
例如，函数$y=x$的定义域是$\mathbb{R}$，值域也是$\mathbb{R}$。
函数$y=\frac{1}{x}$的定义域为$\{x \vert x \neq 0\}$，或者也可以写成区间形式为
$x \in {(-\infty,0)} \cup {(0,+\infty)}$
函数$y=\vert x \vert$的值域为$[0,+\infty)$。
复合函数
设变量$y$是变量$u$的函数$y=f(u)$，如果变量$u$又是变量$x$的函数$u=g(x)$，那么变量$y$也就构成变量$x$的复合函数，写作$y=f(g(x))$。
下面解释一下y=f(g(x))的意义。
$y=f(u)$表示的是数集$A$与数集$B$的映射关系，$u=g(x)$是数集$B$与数集$C$间的映射关系。
那么，要表示出数集$A$到数集$C$间的映射关系，除了自己找到对应法则外，还可以通过复合函数的方式来组合构造对应法则。
上述写法可以用简单的带入的思想来理解，因为$y=f(u)$，$u=g(x)$，
则把后面的解析式带入前面的，可以得到
$y=f(g(x))$
这个解析式体现出的就是$y$与$x$之间的函数关系。
我们还可以从右往左，由内而外的观察最终的解析式，一个自变量$x$，经过对应法则$g$，得到了$u$，也即是$u=g(x)$，这也为下一步，执行对应法则$f$提供了条件，接着，通过对应法则$f(u)$，得到最终的函数值$y$。
注意，复合函数的定义域是构成复合函数的各个函数的定义域的交集，位于外层括号的函数是外层函数，用于整体带入的是内层函数，这是相对于只有两个函数的复合函数而言的，还可以组合更多的函数来构成更复杂的复合函数。
单独研究一个复合函数也许较为困难，但借助复合函数拆分的方法，将复合函数拆分成基本函数，可以更方便的研究复杂函数的性质。